Estimación de leyes a partir de funciones de base radial: ¿cómo se compara con la estimación geoestadística convencional?

El modelado implícito es un enfoque de modelado espacial en el que la distribución de una variable objetivo se describe mediante una función matemática única que se deriva directamente de los datos subyacentes y los controles paramétricos de alto nivel especificados por el usuario. Este enfoque de modelado se puede aplicar a variables discretas como la litología (después de convertir los códigos discretos en valores numéricos) o a variables continuas como las leyes geoquímicas. Este artículo discute la estimación de variables continuas (leyes) utilizando el modelado implícito.

Uno de los motores subyacentes del modelado implícito para producir esta descripción de función matemática es la función de base radial (RBF). En esencia, la RBF es una suma ponderada de funciones posicionadas en cada punto de datos. Se resuelve un sistema de ecuaciones lineales para derivar los pesos y los coeficientes de cualquier modelo de deriva subyacente. Una vez derivada, la RBF se puede resolver para cualquier punto no muestreado o promediarse sobre cualquier volumen para proporcionar una estimación de grado. Es posible, por ejemplo, consultar la RBF en una rejilla regular para obtener una estimación de los grados de bloque. Dada la facilidad de creación de una RBF y su capacidad para predecir el grado, surge la pregunta de cómo se comparan los grados derivados de la solución de una RBF con las estimaciones de grado derivadas de métodos convencionales de interpolación geoestadística (por ejemplo, kriging ordinario (OK)).

El propósito de este artículo es describir en términos sencillos:

• • la estructura básica de una RBF
• • el papel de la elección paramétrica en la solución de las RBF y cómo esto influye en el carácter de la solución
• • las similitudes y diferencias fundamentales entre las RBF y los estimadores geoestadísticos convencionales.

Utilizando una simulación condicional de alta resolución, se muestra que en muchas situaciones, las estimaciones de la RBF y el OK son muy similares.

INTRODUCCIÓN

En los últimos años, los modelos alámbricos implícitos se han utilizado cada vez más para desarrollar formas 3D coherentes para su uso posterior en la estimación a través de métodos tradicionales (por ejemplo, kriging ordinario (OK)). Cowan et al (2003) introdujeron el término “modelado implícito” en la tarea de modelar geometrías de superficies geológicas. El modelado implícito describe un enfoque del modelado espacial en el que una combinación de datos y controles paramétricos especificados por el usuario definen una función de volumen matemática única. Este enfoque puede aplicarse al modelado de superficies a partir de variables categóricas, como la litología, o al modelado de variables continuas, como leyes geoquímicas en todo el espacio. La función más común actualmente en uso para el modelado implícito es la función de base radial (RBF). El término implícito se usa porque la superficie que se modela existe implícitamente dentro de la función de volumen como una superficie isopotencial definida por los datos en lugar de por un proceso de dibujo explícito. Esta función de volumen puede luego ser cuadriculada, o ‘renderizada’, en una estructura alámbrica para su visualización o posterior uso de modelado.

El método de modelado implícito ahora se usa ampliamente para el modelado de la geometría de la superficie a partir de datos de registro categóricos y para el modelado de “isosuperficies de grado” basadas en variables de grado continuo. Lo que muchas personas desconocen es que los modelos implícitos utilizados para generar “isosuperficies de ley” también pueden proporcionar estimaciones puntuales o de bloque de la ley. En muchas situaciones, son muy similares a las estimaciones obtenidas con métodos de estimación más familiares, como OK. Hay una razón para esto: se puede demostrar (Carr et al, 2001; Chiles y Delfiner, 1999; Costa, Pronzato y Thierry, 1999) que el RBF es matemáticamente equivalente a una formulación particular de kriging (kriging dual (DK) ). En la práctica, las estimaciones derivadas de los RBF también suelen ser muy similares a las producidas por OK.

El propósito de este documento es describir (en términos simples) la estructura básica de un RBF e ilustrar las similitudes que tiene con el kriging. También discutiremos brevemente el papel de la elección de parámetros en la solución de RBF y mostraremos cómo esto influye en el carácter de la solución.

LA IDEA DE LA INTERPOLACIÓN

La interpolación es el proceso de predecir (estimar) el valor de un atributo en una ubicación no muestreada a partir de mediciones del atributo realizadas en los sitios circundantes (Figura 1). En la interpolación lineal, la calificación en la ubicación objetivo se calcula como un promedio lineal ponderado de los datos de la muestra. Diferentes interpoladores usan diferentes métodos para determinar el valor de los pesos.
Cuando el punto a estimar está dentro del campo de datos disponibles, el proceso se denomina interpolación; cuando el punto está fuera del campo de datos, el proceso se denomina extrapolación. Este proceso puede realizarse en una, dos, tres o cuatro dimensiones. Por lo general, en la estimación de recursos minerales, nos preocupamos por problemas prácticos tridimensionales: predecir la ley de un atributo (por ejemplo, una ley de metal) en ubicaciones no muestreadas a partir de valores medidos en muestras de perforación dispersas. Es una suposición subyacente que el atributo que intentamos predecir es espacialmente continuo, que toma un valor real en todas las ubicaciones posibles. Hay muchas formas diferentes de interpolador posibles. El más básico es el método constante por partes, más conocido como estimación del vecino más cercano, en el que cualquier ubicación no muestreada simplemente toma el valor del punto de datos más cercano. El estimador continuo resultante toma la forma de un patrón de mosaico, con parches de ley constante separados por pasos repentinos. Esta no es una representación muy realista de la forma en que se observa que los atributos reales, como las leyes del metal, varían en la práctica, y otorga pesos significativamente diferentes a las muestras en los extremos espaciales del conjunto de datos. En aras de la simplicidad en la discusión, este documento considerará que el atributo que se predice es el grado de un metal, sin embargo, la idea puede extenderse simplemente a cualquier variable continua.

El interpolador kriging (local)

Los interpoladores se dividen en dos tipos generales: globales o locales. Un interpolador global tiene en cuenta todos los puntos conocidos para estimar un valor, mientras que la interpolación local utiliza un subconjunto de datos, generalmente definido por una vecindad de búsqueda centrada en el punto que se estima.

El interpolador que probablemente se usa más comúnmente en minería es kriging, o más particularmente OK. La idea general es sencilla: la estimación de un punto se basa en una combinación lineal ponderada de valores de datos locales, y los pesos se calculan de tal manera que se minimiza la varianza del error en función de un modelo asumido para la covarianza espacial. Kriging se basa en una serie de suposiciones clave:

• La suposición subyacente es que las observaciones de la muestra se interpretan como los resultados de un proceso aleatorio. La variable en estudio (por ejemplo, grado de Fe

s) se puede describir mediante una función aleatoria matemática. Esta conceptualización de los datos es simplemente un ingenioso truco que nos permite describir la realidad como el resultado de un modelo probabilístico.

• El paso clave en el modelado geoestadístico es la adopción de un modelo espacial (el variograma) que describe la función aleatoria subyacente. La elección del modelo espacial normalmente se basa en ajustar una función a los datos experimentales disponibles, aunque no existe un vínculo explícito y esta función a menudo se elige más por conveniencia matemática que por derivarse de un análisis del proceso de mineralización.
• La adopción de un modelo que resume el proceso aleatorio permite que la varianza del error (la varianza de la diferencia “en promedio” entre la calificación estimada y la verdadera) se exprese en términos de covarianzas espaciales y factores de ponderación aplicados a las muestras (pesos kriging). Las covarianzas espaciales se especifican mediante la elección del modelo de variograma realizado y las ubicaciones de los datos. El álgebra convencional proporciona los medios para encontrar el conjunto de pesos de kriging que minimiza la varianza del error.

Estos atributos son característicos de todos los sistemas kriging. Las variantes más comunes de kriging son kriging simple (SK), OK y kriging universal (UK). Lo que los distingue es la forma en que la variación en la ley media (deriva) se incorpora a los sistemas kriging.

Diferentes sistemas de kriging

Como se explicó anteriormente, lo que distingue a los diferentes sistemas de kriging es la forma en que se incorpora la variación en la ley media (deriva) en los sistemas de kriging.

kriging simple

SK asume que la expectativa de la media (m) es constante en todo el dominio y de valor conocido (estacionariedad intrínseca). Esto equivale a decir que la componente de deriva es constante y conocida. Por lo general, se estima utilizando la media desagregada de los datos muestrales disponibles.

El estimador SK en cualquier punto se reduce a una combinación de dos componentes: un promedio ponderado de los datos locales y la media del dominio. Las estimaciones cercanas a los datos darán más peso a la estimación local, mientras que las estimaciones más alejadas de los datos estarán dominadas por la media del dominio.

SK rara vez se usa en la práctica ya que la suposición subyacente (constante, media conocida) es demasiado severa para la mayoría de las aplicaciones. Además, la incorporación de la nota media como término ponderado en la estimación SK hace que, lejos de la influencia

de datos de la muestra, el estimador vuelve a la nota media. En la mayoría de los depósitos minerales, la ley disminuye hacia el margen y, a menudo, aquí es donde los datos de perforación son más bajos. Tener un estimador que revierte hacia la media en esta región generalmente no es realista.

kriging ordinario

La suposición que distingue a OK de otros sistemas de kriging es que la expectativa de la media es desconocida pero es constante a la escala de la vecindad de búsqueda (una suposición conocida como cuasiestacionariedad dentro de la hipótesis intrínseca). Lo que esto significa en la práctica es que no debería haber tendencias presentes en la calificación media local por debajo de la escala de la búsqueda. Este es un concepto algo resbaladizo ya que es inusual tener una escala clara en la que se aplica esta separación. En la práctica, esto significa que las variaciones en las calificaciones muestreadas presentes dentro de un vecindario local deben ser fluctuaciones aleatorias plausibles en torno a una calificación media local constante, sin que se presente una fuerte tendencia. Esto permite que el sistema OK se adapte a la variación en la media local de modo que la estimación siempre se centre en el promedio ponderado de las muestras presentes en el vecindario local. Esto significa que la especificación de la vecindad de búsqueda local tiene una influencia crítica en la calidad del estimador kriging; en particular, la vecindad debe ser lo suficientemente grande para que los datos contenidos representen adecuadamente la ley media local.

Al extrapolar más allá de los límites de los datos, el estimador OK no revierte hacia la media global, sino que mantiene la media local especificada por las muestras más cercanas.

kriging universal

La teoría de UK fue propuesta por Matheron en 1969 (Armstrong, 1984) para proporcionar una solución general a la estimación lineal en presencia de deriva. Esta teoría asume que la media local es desconocida pero varía de manera sistemática y puede escribirse como una expansión finita de funciones de base conocidas (f) y coeficientes fijos (pero desconocidos) (a). La información de deriva puede entonces incorporarse en la expresión de la varianza de la estimación.

Rápidamente se dio cuenta de que existen graves dificultades prácticas en la implementación del Reino Unido. El desarrollo del sistema del Reino Unido supone que se conoce el variograma subyacente (que incorpora la deriva); en esta situación, el sistema kriging arroja correctamente tanto los coeficientes de deriva como los pesos. En la práctica, sin embargo, el variograma subyacente siempre se desconoce. Esto nos deja con un problema circular; para calcular los residuos necesitamos conocer la deriva,

pero para conocer la deriva necesitamos conocer el sistema del Reino Unido. Esta circularidad no excluye el uso de UK, pero sí significa que se debe tener mucha cautela en su aplicación. Asumir un modelo de deriva y trabajar solo con residuos dará como resultado una estimación sesgada del verdadero variograma subyacente (Armstrong, 1984).

Doble kriging

Los estimadores de kriging discutidos anteriormente se basan en combinaciones lineales de valores de datos de muestra. También es posible reescribir el estimador UK en términos de covarianzas σ(xi,x) y funciones de deriva f l(x) únicamente, omitiendo cualquier referencia directa a los datos. Esto se conoce como DK. El desarrollo no se muestra aquí, pero se da una exposición clara en Chiles y Delfiner (1999) y Galli, Murillo y Thomann (1984). El término ‘dual’ se origina de una derivación alternativa de estas ecuaciones por minimización en un espacio funcional, similar a splines (Chiles y Delfiner, 1999).

Expresado en inglés, la estimación en cualquier punto (x0) es la suma de dos componentes:

1. Un componente determinista transportado por la suma de los términos de la función de deriva en la ubicación objetivo: c f (x)
2. Un componente probabilístico calculado como la suma ponderada de las covarianzas entre la ubicación objetivo y todas las ubicaciones de muestra: b v(x ,x)

la función de covarianza (o variograma) es mayor en distancias cortas, es fácil ver que este término será mayor cuando el punto objetivo esté cerca de los datos. Los valores del coeficiente b están influenciados por el agrupamiento y la distancia del valor de la muestra de la ley media local estimada por el modelo de deriva.

La naturaleza de la función de deriva es una elección impuesta por el usuario, y la función de covarianza (o variograma en el caso intrínseco) es igualmente una elección especificada por el usuario. Luego, los valores de los coeficientes b y c se calculan de la misma manera que para otros sistemas de kriging, imponiendo restricciones en el sistema que permiten obtener una solución única (ver Chiles y Delfiner (1999) para más detalles).

Este sistema no es fácil de visualizar. La Figura 3 muestra cómo el estimador DK se compone de deriva y componentes probabilísticos, y que ninguno hace referencia directa a los valores muestreados. Tenga en cuenta que, si bien la estimación de deriva (y los coeficientes) y la estimación probabilística (y los coeficientes) se muestran por separado, en realidad se derivan simultáneamente. La deriva afecta la estimación en todo el espacio, mientras que los coeficientes probabilísticos describen la influencia local alrededor de cada punto de datos.

Una de las principales ventajas del sistema DK es que los coeficientes de deriva y covarianza solo necesitan resolverse una vez y luego pueden usarse para hacer una estimación en cualquier ubicación.

El principal inconveniente del método es que el uso de una vecindad global da como resultado un sistema muy grande de ecuaciones simultáneas, con una ecuación por muestra y una para cada función de deriva.

Funciones de base radial

El RBF es una familia de técnicas matemáticas que se ha aplicado a muchos problemas de interpolación espacial y es la base de la mayoría de los algoritmos de “modelado implícito” que se utilizan en la actualidad. Se basa en una premisa de partida algo diferente a la teoría de las variables regionalizadas en la que se basa el kriging: en lugar de considerar que la variable objetivo es una realización de una función aleatoria con una estructura definida, el RBF se basa en la interpolación de una función predefinida de criterios matemáticos como la minimización de la curvatura. En la práctica, esta diferencia es solo semántica, porque el kriging tradicional también usa determinadas funciones, excepto que estas se ajustan a los datos experimentales y se han elegido para adaptarse al modelado de los datos. Matemáticamente, existe una equivalencia entre DK y el modelado con RBF, y también es posible elegir la función RBF ajustando los datos experimentales. De hecho, debido a que los variogramas como el esférico son definidos positivos (Chiles y Delfiner, 1999, p. 59), son adecuados para usarse como RBF.

El interpolante para un RBF tiene una forma muy similar a la expresión general de kriging: la variable objetivo es
se considera que está compuesto por un término de deriva y un término que es un promedio ponderado de los valores de función que dependen de las ubicaciones de los datos.

El término de la derecha se refiere al conjunto de K funciones de deriva (qk(x)), cada una de las cuales tiene un coeficiente (ck) aplicado globalmente a todos los datos.

De la misma manera que para DK, se imponen condiciones que hacen que el sistema sea solucionable. En este caso, las condiciones son que: el producto de los coeficientes RBF y los coeficientes de la función de deriva en cada punto de datos debe sumar cero en todos los puntos de datos, y la función debe devolver el valor de los datos en un punto de datos (ver Cowan et al. (2001) para detalles y Chiles y Delfiner (1999) para el ejemplo paralelo de DK). Estas condiciones permiten expresar el sistema como un conjunto de ecuaciones lineales. Esto se muestra en forma de matriz de la siguiente manera:

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